高中數學 · 章節目錄
高中數學
必修部分
集合與函數的概念
基本初等函數I
函數的應用
空間幾何體
點 直線 平面之間的位置
直線與方程
圓與方程
算法初步
統計
概率
三角函數
平面向量
三角恒等變換
解三角形
數列
不等式
選修1系列
常用邏輯用語
圓錐曲線與方程
導數及其應用
統計案例
推理與證明
數系的擴充與復數的引入
框圖
選修2系列
常用邏輯用語
圓錐曲線與方程
空間中的向量與立體幾何
導數及其應用
推理與證明
數系的擴充與復數的引入
計數原理
統計案例
概率
選修3系列
數學史選講
信息安全與密碼
球面上的幾何
對稱與群
歐拉公式與閉曲面分類
三等分角與數域擴充
選修4系列
幾何證明選講
矩陣與變換
數列與差分
坐標系與參數方程
不等式選講
初等數論初步
優選法與試驗設計初步
統籌法與圖論初步
風險與決策
開關電路與布爾代數
新文化試題分類
新文化試題分類
初中銜接知識點
初中銜接知識點
其他
高考試題
數學競賽
高中數學
題型：
不限制
選擇題
填空題
簡答題
實驗,探究題
綜合題
計算題
作圖題
多項選擇
推斷題
解答題
證明題
未分類
難度：
不限制
基礎
容易
中等
偏難
很難
未分類
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難度：
使用次數：273
更新時間：2022-11-11
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1.
已知由樣本數據 組成的一個樣本，得到回歸直線方程為
，且
，其中發現兩個歧義點
和
偏差過大，去除這兩點后，得到新的回歸直線的斜率為 3 ，則新的回歸直線方程為 ______________ ．
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題型：填空題
知識點：統計案例
【答案】
【分析】由題可得 ，進而可得新的平均數，根據回歸直線方程過樣本中心結合條件即得 .
【詳解】因為 ，且
，
所以 ，
去除兩個歧義點 和
后新的平均數為：
，
，又新的回歸直線的斜率為 3 ，
所以 ，
所以新的回歸直線方程為 .
故答案為： .
難度：
使用次數：251
更新時間：2022-11-11
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2.
2021 年高考成績揭曉在即，某學生高考前 8 次數學模擬考試成績如表所示，
| 模擬次數（ x ） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 考試成績（ y ） | 90 | 105 | 110 | 110 | 100 | 110 | 110 | 105 |
根據考試成績 y 與考試次數 x 的散點圖可知， 滿足回歸直線方程
. 若將 2021 年的高考看作第 10 次模擬考試，根據回歸直線方程預測今年的數學高考成績為（ ） A ． 100 B ． 102 C ． 112 D ． 130
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題型：選擇題
知識點：統計
【答案】
C
【分析】計算出樣本中心點，代入回歸直線方程，求出 ，從而得到線性回歸方程，再代入
求出結果 .
【詳解】因為 ，
，
所以回歸直線過點 ，
代入回歸直線方程得 ，
，
則回歸直線的方程為 ，
當 時，得
.
故選： C.
難度：
使用次數：150
更新時間：2022-11-11
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3.
已知某產品的營銷費用 x （單位：萬元）與銷售額 y （單位：萬元）的統計數據如表所示：
| 營銷費用 x / 萬元 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 銷售額 y / 萬元 | 15 | 20 | 30 | 35 |
根據上表可得 y 關于 x 的回歸直線方程為 ，則當該產品的營銷費用為 6 萬元時，銷售額為（ ） A ． 40.5 萬元 B ． 41.5 萬元 C ． 42.5 萬元 D ． 45 萬元
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題型：選擇題
知識點：統計
【答案】
C
【分析】利用平均數的公式及樣本的中心在回歸直線方程上，求出回歸直線方程，再將 代入回歸直線方程即可求解 .
【詳解】由題中表格數據可知 ，
，因為回歸直線
一定經過點
，所以
，解得
，
所以回歸直線方程為 ，將
代入，得
.
所以當該產品的營銷費用為 6 萬元時，銷售額為 42.5 萬元 .
故選 :C.
難度：
使用次數：247
更新時間：2022-11-11
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4.
下列說法正確的是（ ）
A ．若 ，若函數
為偶函數，則
B ．數據 7 ， 5 ， 3 ， 10 ， 2 ， 6 ， 8 ， 9 的上四分位數為 8
C ．已知 ，
，若
，則
，
相互獨立
D ．根據分類變量 與
的成對樣本數據，計算得到
依據
的獨立性檢驗（
），可判斷
與
有關且犯錯誤的概率不超過 0.05
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題型：選擇題
知識點：基本初等函數I
【答案】
ACD
【分析】根據正態分布的特點，百分位數的求解，事件獨立和獨立性檢驗的判斷方法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇 .
【詳解】對 A ：因為 為偶函數，即
，
可得：
，故可得
，故 A 正確；
對 B ：將 個數據按照從小到大的順序排序： 2,3,5,6,7,8,9,10 ，
故 ，故上四分位數為
，故
錯誤；
對 ：根據題意，
，即
，
即 ，故
相互獨立， C 正確；
對 D ： ，根據獨立性檢驗，可判斷
與
有關且犯錯誤的概率不超過 0.05 ，故
正確 .
故選： .
難度：
使用次數：165
更新時間：2022-11-11
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5.
下列說法中錯誤的有 ______ ．
（ 1 ）殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越寬，則回歸方程的預報精確度越高；
（ 2 ）兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；
（ 3 ）設隨機變量 服從正態分布
，若
，則
；
（ 4 ）根據下表提供的數據，線性回歸方程 ，那么表中
．
| | 3 | 4 | 5 | 6 |
| | 2.4 | | 3.8 | 4.6 |
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題型：填空題
知識點：統計案例
【答案】
（ 1 ）（ 4 ）
【分析】（ 1 ）根據殘差的概念與殘差圖的特點即可判斷；
（ 2 ）根據殘差平方和的概念即可判斷；
（ 3 ）根據正態分布 的性質求解并判斷；
（ 4 ）根據表中數據計算 ，代入線性回歸方程中求得
的值，即可判斷．
【詳解】對于（ 1 ），殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越窄，則回歸方程的預報精確度越高，所以（ 1 ）錯誤；
對于（ 2 ），兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，所以（ 2 ）正確；
對于（ 3 ），根據正態分布 的性質可得，若
，則
，
，
，所以（ 3 ）正確；
對于（ 4 ），根據表中數據，計算 ，
，代入線性回歸方程
中，得
，解得
，所以（ 4 ）錯誤．
故答案為：（ 1 ）（ 4 ）．
難度：
使用次數：231
更新時間：2022-11-11
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6.
下列四個命題中，正確的個數的是（ ）
① ．若隨機變量 ，且
，則
② ．在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件 A ， B ， C ， D 的概率分別為 0.2 ， 0.2 ， 0.3 ， 0.3 ，則 A 與 是互斥事件，也是對立事件
③ ．一只袋內裝有 m 個白球， 個黑球，連續不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設此時取出了
個白球，
等于
④ ．由一組樣本數據 得到回歸直線方程
，那么直線
至少經過
中的一個點
A ． 1 個 B ． 2 個 C ． 3 個 D ． 4 個
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題型：選擇題
知識點：概率
【答案】
B
【分析】直接利用二項分布的期望與方差，互斥事件和對立事件的關系，排列組合，回歸直線方程等相關知識對四個命題的真假判斷 .
【詳解】對于 ① ：由 ，且
可得
，
所以 ，則
，故 ① 錯；
對于 ② ：因為事件 、
、
、
彼此互斥，所以
，
又 ，所以，
與
是互斥事件，也是對立事件，故 ② 正確；
對于 ③ ：依題意， 表示 “ 一共取出了 3 個球，且前兩次取出的都是白球，第三次取出的是黑球 ”.
因為袋內共有 個球，從中任取 3 個球共有
種不同的方法，
“ 前兩次取出的都是白球，第三次取出的是黑球 ” 有 種不同的方法，
所以 ，故 ③ 正確；
對于 ④ ：回歸直線方程一定過樣本中心點 ，但是不一定經過樣本數據中的點，故 ④ 錯 .
所以四個命題中，正確的個數的是 2.
故選： B.
難度：
使用次數：183
更新時間：2022-11-11
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7.
已知變量 y 與變量 x 的關系可以用模型 （其中 e 為自然對數的底數）擬合，設
，變換后得到一組數：附：線性回歸方程
中的系數
．
| x | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| z | 2.5 | 4.5 | 5 | 5.5 | 7.5 |
則當 時， y 的估計值為（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
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題型：選擇題
知識點：統計案例
【答案】
D
【分析】根據題中的給的公式，結合對數的運算性質進行求解即可 .
【詳解】 ∵ ，
，
，
，
∴ ．
當 時，
．
故選： D
難度：
使用次數：244
更新時間：2022-11-11
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8.
如表是降耗技術改造后生產某產品過程中記錄的產量（噸）與相應的生產能耗（噸標準煤）的幾組對應數據，根據表中提供的數據，求出 y 關于 x 的線性回歸方程 ，那么表中 m 的值為 ___________.
| x | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 2.9 | m | 4 | 4.1 |
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題型：填空題
知識點：統計案例
【答案】
##
【分析】將樣本中心點代入回歸方程后求解
【詳解】由已知中的數據可得： ，
∵ 數據中心點 一定在回歸直線上，
∴ ，解得
.
故答案為：
難度：
使用次數：197
更新時間：2022-11-11
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9.
某家電商場為了解廣告宣傳費 （萬元）與營業額
（萬元）之間的關系，得到如下數據統計表：
| 廣告宣傳費 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 營業額 | 10 | 14 | 15 | 17 | 19 |
根據上表數據可得線性回歸方程為 ，則
的值為 ___________.
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題型：填空題
知識點：統計
【答案】
【分析】根據數據的樣本中心在線性回歸直線上，求出 代入計算即可得到
值 .
【詳解】因為
因為數據的樣本中心在線性回歸直線上，回歸方程為 ，
則 ，解得
故答案為 :
難度：
使用次數：270
更新時間：2022-11-11
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10.
某智能機器人的廣告費用 （萬元）與銷售額
（萬元）的統計數據如下表：
| 廣告費用 | 2 | 3 | 5 | 6 |
| 銷售額 | 28 | 31 | 41 | 48 |
根據上表可得回歸方程 ，據此模型預報廣告費用為 8 萬元時銷售額為 ______ 萬元．
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題型：填空題
知識點：統計
【答案】
【分析】計算出樣本中心后可求 ，從而可求廣告費用為 8 萬元時銷售額 .
【詳解】 ，
，
所以 ，
，
所以廣告費用為 8 萬元時銷售額 （萬元）
故答案為：
難度：
使用次數：205
更新時間：2022-11-11
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11.
已知 x 與 y 之間的一組數據：
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 1 | 3 | 5 | 7 |
則 y 與 x 的線性回歸方程為 必過點?。? ） A ．（ 2 ， 2 ） B ．（ 1.5 ， 0 ）
C ．（ 1.5 ， 4 ） D ．（ 1 ， 2 ）
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題型：選擇題
知識點：統計
【答案】
C
【分析】分別求出 的均值即得．
【詳解】由已知 ，
，
所以回歸直線一定過中心點 ．
故選： C ．
難度：
使用次數：170
更新時間：2022-11-11
加入組卷
12.
某工廠研究某種產品的產量 （單位：噸）與需求某種材料
（單位：噸）之間的相關關系，在生產過程中收集里組數據如表所示．根據表中數據可得回歸直線方程為
，則下列四個說法中正確的個數為（ ）
| | 3 | 4 | 6 | 7 |
| | 2.5 | 3 | 4 | 5.9 |
① 變量 與
正相關；
② 與
的相關系數
；
③ ；
④ 產量為 8 噸時，預測所需材料約為 5.95 噸． A ． 4 個 B ． 3 個 C ． 2 個 D ． 1 個
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題型：選擇題
知識點：統計案例
【答案】
B
【分析】根據回歸方程的意義即可判斷 ①② ；求出樣本中心點，再根據回歸直線必過樣本中心點求出 ，即可判斷 ③④
【詳解】解：因為回歸直線方程 ，
所以產量 與材料
呈正相關，所以相關系數
，故 ① 正確， ② 錯誤；
由表格可得 ，
則 ，解得
，故 ③ 正確；
所以回歸直線方程 ，
當 時，
，
即產量為 8 噸時預測所需材料約為 5.95 噸，故 ④ 正確；
故選： B
難度：
使用次數：287
更新時間：2022-11-11
加入組卷
13.
“ 你指尖躍動的電光，是我此生不變的信仰，唯我超電磁炮永世長存． ” 御坂美琴在學園都市中僅有 7 名超能力者中排名第 3 位，其能力「超電磁炮」可將硬幣以高速射出．發射速度 v （單位： m/s ）可與蓄力時間 t （單位： s ）擬合線性回歸方程 ．已知平均蓄力時間為 7.5s ，平均發射速度為 1030m/s ，當蓄力時間為 12s 時，發射速度約為（ ）
A ． 1280m/s B ． 1460m/s C ． 1450m/s D ． 1480m/s
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題型：選擇題
知識點：統計案例
【答案】
D
【分析】根據題意，求出 ，進而將
代入擬合線性回歸方程即可求解 .
【詳解】解：由題意， ，
所以 ，
所以當蓄力時間為 12s 時，發射速度約為 280+100×12=1480m/s ．
故選： D ．
難度：
使用次數：150
更新時間：2022-11-11
加入組卷
14.
北京冬奧會的舉辦掀起了一陣冰雪運動的熱潮．某高校在本校學生中對 “ 喜歡滑冰是否與性別有關 ” 做了一次調查，參與調查的學生中，男生人數是女生人數的 倍，有
的男生喜歡滑冰，有
的女生喜歡滑冰．若根據獨立性檢驗的方法，有
的把握認為是否喜歡滑冰和性別有關，則參與調查的男生人數可能為（ ）
參考公式： ，其中
．
參考數據：
| | | | | |
| | | | | |
A ． B ．
C ．
D ．
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題型：選擇題
知識點：統計案例
【答案】
C
【分析】設男生人數為 ，則女生人數為
，且
, 寫出列聯表并根據卡方計算公式，結合題意確定卡方值的范圍，即可確定
的取值范圍，進而確定男生可能人數 .
【詳解】設男生人數為 ，則女生人數為
，且
,
可得列聯表如下：
| | 男生 | 女生 | 合計 |
| 喜歡滑冰 | | | |
| 不喜歡滑冰 | | | |
| 合計 | | | |
所以 ，
因為有 的把握認為是否喜歡滑冰和性別有關，
所以 ，解得
，
所以 ，結合選項只有
，
故選 :C.
難度：
使用次數：144
更新時間：2022-11-11
加入組卷
15.
對某手機的廣告費用支出 x （萬元）與銷售額 y （萬元）之間的關系進行調查，通過回歸分析，求得 x 與 y 之間的關系式為 ，則當廣告費用支出為 10 萬元時，銷售余額的預測值為 ___________ 萬元 .
查看答案
題型：填空題
知識點：統計
【答案】
92.5##
【分析】將 x =10 代入回歸方程即可得到答案
【詳解】解：將 x =10 代入 ，即得
，所以余額為
萬元，
故答案為： 92.5
難度：
使用次數：270
更新時間：2022-11-11
加入組卷
16.
兩個具有線性相關關系的變量的一組數據 ，
，
，下列說法錯誤的是（ ）
A ．落在回歸直線方程上的樣本點越多，回歸直線方程擬合效果越好
B ．相關系數 越接近
，變量
，
相關性越強
C ．相關指數 越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差
D ．若 表示女大學生的身高，
表示體重，則
表示女大學生的身高解釋了
的體重變化
查看答案
題型：選擇題
知識點：統計案例
【答案】
A
【分析】根據變量間的相關關系中：相關指數 或相關系數
的意義進行判定．
【詳解】對于 A ：回歸直線方程擬合效果的強弱是由相關指數 或相關系數
判定，故不正確；
對于 B ：根據相關系數 越接近
，變量相關性越強，故正確；
對于 C ：相關指數 越小，殘差平方和越大，效果越差，故正確；
對于 D ：根據 的實際意義可得，
表示女大學生的身高解釋了
的體重變化，故正確；
故選： ．
難度：
使用次數：143
更新時間：2022-11-11
加入組卷
17.
已知 X 服從參數為 0.3 的兩點分布，則 ________ ；若
，則
________.
查看答案
題型：填空題
知識點：概率
【答案】
0.7## 0.3##
【分析】根據兩點分布的基本性質即可求解 .
【詳解】因為 服從參數為 0.3 的兩點分布，
所以 ，
.
當 時，
，所以
.
故答案為： 0.7 ， 0.3
難度：
使用次數：276
更新時間：2022-11-11
加入組卷
18.
根據農業農村部的統計數據， 2017 年至 2021 年則我國農民人均可支配收入如下表所列：
| 年份 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
| 收入 | 13432 | 14600 | 17371 | 17131 | 18931 |
由表中數據可得回歸方程 ，則
___________ （精確到小數點后一位） .
查看答案
題型：填空題
知識點：統計案例
【答案】
【分析】利用最小二乘法，直接將表格中的數據帶入公式即可求出 的值 .
【詳解】根據表格中的數據可得： ，
.
利用最小二乘法，根據公式得：
.
故答案為： .
難度：
使用次數：133
更新時間：2022-11-11
加入組卷
19.
為了增強學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素與學生對體育鍛煉的喜好是否有影響，為此對學生是否喜歡體育鍛煉的情況進行普查 . 得到下表：
| | 性別 | 合計 | |
| 男性 | 女性 | ||
| 喜歡 | 280 | p | 280+ p |
| 不喜歡 | q | 120 | 120+ q |
| 合計 | 280+ q | 120+ p | 400+ p + q |
附： ，
．
| | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.00l |
| | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
已知男生喜歡該項運動的人數占男生人數的 ，女生喜歡該項運動的人數占女生人數的
，則下列說法正確的是（ ） A ．列聯表中
的值為
，
的值為
B ．隨機對一名學生進行調查，此學生有 的可能喜歡該項運動
C ．有 的把握認為學生的性別與其對該項運動的喜好有關系
D ．沒有 的把握認為學生的性別與其對該項運動的喜好有關系
查看答案
題型：選擇題
知識點：統計案例
【答案】
ACD
【分析】根據題意求出 q 、 p ，補全 列聯表，分析數據，利用卡方計算公式求出
，結合獨立性檢驗的思想依次判斷選項即可 .
【詳解】 A ：由題意知，男生喜歡該項運動的人數占男生人數的 ，
女生喜歡該項運動的人數占女生人數的 ，
則 ，
，解得
，故 A 正確；
B ：補全 列聯表如下：
| | 男性 | 女性 | 合計 |
| 喜歡 | 280 | 180 | 460 |
| 不喜歡 | 120 | 120 | 240 |
| 合計 | 400 | 300 | 700 |
所以隨機抽一名學生進行調查，喜歡該項運動的概率約為 ，故 B 錯誤；
C ： ，
而 ，
所以有 的把握認為學生的性別與其對該項運動的喜好有關系，故 C 正確；
D ：由選項 C 知，沒有 的把握認為學生的性別與其對該項運動的喜好有關系，
故 D 正確 .
故選： ACD
難度：
使用次數：136
更新時間：2022-11-11
加入組卷
20.
根據分類變量 x 與 y 的觀察數據，計算得到 ．依據下面給出的臨界值表，
| | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
可知下列判斷中正確的是（ ） A ．有 95% 的把握認為變量 x 與 y 獨立
B ．有 95% 的把握認為變量 x 與 y 不獨立
C ．變量 x 與 y 獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過 10%
D ．變量 x 與 y 不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過 10%
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題型：選擇題
知識點：統計案例
【答案】
D
【分析】依據表中給出的 獨立性檢驗求解 .
【詳解】解：因為 ，且
，
所以依據表中給出的 獨立性檢驗知：變量 x 與 y 不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過 10% ，
故選： D
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