2022-2023學年度高中數學——三元基本（均值）不等式練習題含解析
高中
整體難度：中等
2022-11-08
題號
一
二
三
四
五
評分
一、選擇題 (共10題)
添加該題型下試題
1.
若 ，
，求
的最小值為（ ）
A ． B ．
C ．
D ．
難度：
知識點：不等式
使用次數：188
【答案】
C
【分析】把 變形為
，再由基本不等式求其最小值．
【詳解】 ，
，
,
當且僅當 即
時等號成立，
的最小值為
．
故選： ．
2.
已知四面體 中，
，則
體積的最大值為（ ）
A ． B ．
C ．
D ．
難度：
知識點：空間幾何體
使用次數：141
【答案】
C
【分析】設 M 為 CD 的中點，連接 AM,BM , 設四面體 A - BCD 的高為 h ，利用等體積法表示出四面體的體積，利用三個正數的均值不等式即可求得答案 .
【詳解】設 M 為 CD 的中點，連接 AM,BM ,
設四面體 A - BCD 的高為 h ，則 ,
由于 ，故
,
則 , 設
，
則 ,
所以
，
當且僅當平面 ACD 與平面 BCD 垂直且 即
時取等號，
故選： C
3.
如圖，某加工廠要在一圓柱體材料中打磨出一個直三棱柱模具，已知該圓柱底面圓面積為 ，高為 6 ，則能截得直三棱柱體積最大為（ ）
A ． B ．
C ．
D ．
難度：
知識點：三角函數
使用次數：200
【答案】
B
【分析】根據直三棱柱的定義及三角形的面積公式，再利用正弦定理及三元基本不等式，結合棱柱的體積公式即可求解 .
【詳解】由題意可知，設底面圓的半徑為 ，則
, 解得
.
因為直三棱柱的定義可知，要使能截得直三棱柱體積最大，只需要圓的內接三角形面積最大即可，
.
當且僅當 ，即
時。等號成立，
所以三角形是正三角形時，圓的內接三角形面積最大，
.
所以能截得直三棱柱體積最大為 .
故選： B.
4.
已知一個體積為 8 的圓柱，其底面半徑為 r ，當其表面積最小時， r ＝（ ）．
A ． B ．
C ．
D ．
難度：
知識點：空間幾何體
使用次數：241
【答案】
B
【分析】設圓柱的高為 h ，進而得到 ，再表達出表面積
，再根據三元的均值不等式求解最小值即可
【詳解】設圓柱的高為 h ， ∵ 圓柱的體積為 8 ， ∴ ，則
，
∴ 圓柱的表面積 ，
∴ ，
當且僅當 ，即
時，等號成立
故選： B ．
5.
設 ，函數
，若
的最小值為
，則實數
的取值范圍為（ ）
A ． B ．
C ．
D ．
難度：
知識點：基本初等函數I
使用次數：211
【答案】
A
【分析】當 時，結合不等式求得其最小值為
，當
時，
，根據函數
的最小值為
，列出不等式組，即可求解 .
【詳解】當 時，
，
當且僅當 時，等號成立；
即當 時，函數
的最小值為
，
當 時，
，
要使得函數 的最小值為
，則滿足
，解得
，
即實數 的取值范圍是
.
故選： A.
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試題總數：
35
總體難度：
中等
難度統計
難度系數
數量
占比
中等
17
48.57%
容易
8
22.85%
偏難
6
17.14%
基礎
3
8.57%
很難
1
2.85%
題型統計
大題類型
數量
占比
選擇題
10
28.57%
填空題
15
42.85%
解答題
10
28.57%
知識點統計
知識點
數量
占比
不等式
6
17.14%
空間幾何體
7
20.0%
三角函數
2
5.71%
基本初等函數I
4
11.42%
常用邏輯用語
1
2.85%
不等式選講
12
34.28%
點 直線 平面之間的位置
1
2.85%
平面向量
1
2.85%
導數及其應用
1
2.85%
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